许兴华——从有争议的y=5log6(x)是否为对数函数谈起

从有争议的y=5log₆x是否为对数函数谈起

  （南宁三中   许兴华数学）

最近，有高一学生向数学老师提出这样一个问题：

【问题】函数y=5log₆x是否为对数函数？

对于学生提出的这个问题，我发到几个“全国高中数学教师微信群”，竟然引起了无比热烈的讨论——大家争议不休！一般有以下两种不同的看法：

（1）部分数学老师认为它不是对数函数，因为它形式上并不是对数函数的定义的形式。

（2）另有一部分数学老师认为：这个一定是对数函数，原因是这个函数可以化为对数函数定义的形式：

下面，大家瞧瞧高中数学教师的部分商讨、议论：

【广东黄老师】可以化为规定的形式就是。

【甘肃董老师】我个人认为：指数函数、幂函数、对数函数都是形式化定义，我们应该只看其形式，不是“想办法化简”，实际上化简后可以是定义的形式，但是未化简前不是简单的指对幂函数，而是一个复合函数。

【贵州鲁老师】支持上面的第二种观点，等价变形后是就是。

【江苏刘老师】所有均应从定义经逻辑推理出来的结论为真。
【湖北邹老师】定义是形式的， 不能变形的。

【安徽张老师】关于概念类问题，教师的关注点不是判断形式化是不是一类问题，而是要重点关注学生能否运用相关概念模型解决数学问题和实际问题，这一点章建跃教授已经谈过。
【甘肃董老师】可以直接告诉学生：原形式是符合形式化定义的就是，否则所有通过等价变形得出来的就不是，因为符合函数也可以化简得出那样的形式。没有这样的统一，每次见到函数心里紧张，先得思考能不能化简得出形式化。而冲淡了数学思想和方法，关注了皮毛。

【山西张老师】对数函数是形式上的定义，对这个问题本来是有争议的地方，没有必要再深入研究。

【广东王老师】我回答，我答不上。章建跃就零向量方向是任意的，为什么又说零向量与任意向量平行发表过文章，建议将精力放在研究数学的主要问题上。刚才那个是不是对数，很早就见到发起过讨论，也没见到哪位专家出来终结这个问题。

【重庆米老师】不是对数函数。

【云南张老师】不是对数函数，而是对数型函数。对数概念狭义上理解，不可扩大解析。

【江苏高老师】这不是对数函数。

【广西钦州谭老师】不是对数函数，但可化化为对数函数。

【安徽沐老师】算是对数函数。

【甘肃刘老师】但是，换种形式本质就改变了吗？那这种定义本身就是有问题的！

【重庆李老师】@南宁许兴华 ，对数函数在高中教材中是形式化的定义，变形以后的函数不能够看作是原来的函数。
【浙江李老师】标准对数函数就这样，考出来没啥意思。我们学的都参照标准对数函数图象与性质解题，把这号识别概念的练习题，改成标准对数形式定义还差不多。新定义的题，也是紧扣形式化本身，有这种练习题，多放几道新定义编书还差不多，专门考对数函数概念识别没意思。
【南宁许老师】我认为这个是对数函数，因为它可以通过“等价转化”化归为对数函数的标准形式。

【南宁廖老师】我赞同许老师的观点。

【湖南王老师】@南宁廖老师， 如果你选了它是对数函数，改卷答案就判你错了[捂脸][捂脸]。

【陕西商洛山阳学校教师】（见下面图形）

【北京林老师】就是说，人教版教材并非特别严密。我认为这个并不是对数函数。要看初始形式的。

【南宁颜老师】我认为这个不是对数函数，它只能算是“可化为对数函数的函数”。

【南宁陈老师】我赞同许老师的观点：这是一个对数函数。

【山东崔老师】请看看上图（课本内容的拍照），这是最新的课本上的（选择性必修二）。大家公认的不是指数函数的函数，人教社的专家都写成了指数函数（也可能是一时疏忽吧）。看来，不必太关心死抠概念。在细节上较真主要是各种辅导书上形形色色的辨析。看成形式比较便于教学，也比较符合各种辅导书上的答案；若能变成的也算，这儿也会出现一定的教学难度，一般也不符合各种辅导书上的答案。我的观点：少出这样的辨析题。
【浙江洪老师】物以类归，对数函数就是一类函数，形式是一方面，重点是这一类函数有相同的性质，以此做为判断标谁，最后能化成为对数函数形式的都为对数函数，不能的则不是。书本上在定义中，写了一般地，符合这种形式要求的肯定是，但并未排斥特殊的，最后能化成这种形式的。函数有三要素，重要的是二要素即定义域与对应法则，二者一样视为同一函数。最后能化为一样的形式可作为一个同一函数的判断标准，否则就不是同一个函数。

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看来，讨论还是相当的激烈啊！！！

有些老师认为：争议这个问题没有任何意义！因为高考数学不会这么考！我可不这么认为！关键是：问题出现了，教师必定要帮助学生解决疑难问题的！而不是一味地逃避问题！

如果我是高中生，我问你数学老师这个问题，那你必须得回答：“是”或者“不是”！对不对？数学老师不可以模棱两可地回答：“可以是，也可以不是”吧！

评判的标准是什么？为什么说这个函数必定是对数函数呢？

目前尚有很多数学老师跟我争论说：“许老师，我们认为这不是对数函数。你也无法说服我们。是不是？”

那么，今天请你们认真思考我下面的看法。看看是否有道理？

笔者有以下的一些实例、观点和看法。提供给大家，供大家学习、研究和讨论。

（1）定义的等价性。如果两个函数A和B的定义域相同、对应法则相同、值域相同，那么A和B就是完全相同的函数。完全相同的两个函数A和B，难道可以说A是对数函数，而B不是对数函数？

(2)如果说A是对数函数，B不是对数函数。而A与B是等价命题。那数学上的“等价转化”有什么意义呢？

（3）当底数a不等于e和10时，用几何画板是没有办法直接画出对数函数y=log_ax的图象的，这时候就要用换底公式化为下面的形式画出来：

而上面最后一行的形式却被数学老师说成“它已经不是对数函数”了！这是多么的可怕！！

（4）如果数学概念只注重形式，不着重于问题的本质，那么就会出现很多的问题。例如：

（5）类似的大量的问题也会接踵而来：

高中数学课本上说：形如a+bi（a,b是实数，且b不等于0）的数叫做虚数。

按照上面一部分数学老师的说法，那么

（6）课本上说：把函数y=sinx,(x是实数）叫做正弦函数。

按照上面一部分数学老师的说法，那么

（7）南宁的廖老师还指出：按照上面一部分数学老师的说法，那么

（8）如果按照上面某些数学老师的说法：“定义只能看它的原始形式，不可以变形！”，那么

(9)甚至，北京有位数学老师认为：

（10）再多举一个例子：

（11）十多年前，人教版高中数学课本是这样定义一个角的正弦的：

如图，角a的终边上的任意一点为A(x,y),|OA|=r(r>0)，

现在，人教版高中数学新教材的定义改成了：

如图，在单位圆上，角a的终边与单位圆相交于点A(x,y),

凭什么新教材可以这样来定义角a的正弦？就凭着“两个相似三角形对应边成比例”得出这两个定义是完全等价的。所以，用其中任何一个定义都是正确的。

综上所述，笔者认为：在数学学习上要判断一个对象是否符合一个数学定义，不能仅仅只凭“形式上”的表面来判断，如果能够“等价转化”化归为定义的形式，那它就是符合定义的。也就是说要看问题的本质属性。这个观点与全国部分高中数学教师的观点是完全一致的。
如果大家还有不同意见，其实你们还可以在后面留言研究、讨论。毕竟，问题越辩越明了、清晰嘛！谢谢大家！

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